¿Te preparas para ingresar a la ESPOL? Aquí tienes un examen resuelto para estudiar.

septiembre 5, 2026 admin

Prepararse para una evaluación de Matemáticas no consiste únicamente en memorizar fórmulas. Muchos ejercicios de nivelación evalúan nuestra capacidad para interpretar proposiciones, trabajar con conjuntos, analizar información y reconocer relaciones entre funciones.

En esta guía vamos a resolver los primeros cinco ejercicios de la Primera Evaluación de Matemáticas para Ingenierías del Curso de Nivelación Intensivo 2016 de ESPOL.

Ejercicio 1. Simplificación de una proposición lógica

Problema 1
La forma proposicional $\big\{(p \lor q) \land [\neg(r \to q) \lor (\neg q \to \neg r)]\big\}$ es equivalente a:

$p \land q$
$p \lor q$
$\neg p \land q$
$p \land \neg q$
$\neg p \land \neg q$

Resolución:

Analizamos la expresión entre corchetes: $\neg(r \to q) \lor (\neg q \to \neg r)$.
Por la ley del contrarrecíproco: $(\neg q \to \neg r) \equiv (r \to q)$.
Sustituyendo: $\neg(r \to q) \lor (r \to q)$.
Por principio de tercero excluido ($A \lor \neg A \equiv 1$): \[ \neg(r \to q) \lor (r \to q) \equiv 1 \]
Reemplazando en la expresión inicial: \[ (p \lor q) \land 1 \equiv p \lor q \]

Respuesta correcta: b) $p \lor q$

Ejercicio 2. Cuantificadores y proposiciones falsas

Problema 2
Dado el conjunto referencial $Re_x = Re_y = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$, identifique la proposición FALSA:

$\forall x \exists y\, [y = 1]$
$\forall y \exists x\, [y = |x|]$
$\exists x \forall y\, [x + y = 0]$
$\forall x \exists y\, [xy = 0]$
$\forall x \exists y\, [y = \mu(x)]$

Resolución:
Para la proposición c) $\exists x \forall y\, [x + y = 0]$ podemos determinar por contraejemplo su falsedad.
Si fijamos $x = y = -3$; tenemos $-3 + (-3) = -3-3 = -6 \neq 0$.

Respuesta correcta: c) $\exists x \forall y\, [x + y = 0]$

Ejercicio 3. Cardinalidad de conjuntos

3. Se ha encuestado a 40 personas sobre su preferencia en cuanto al género de cine y se obtuvieron los siguientes resultados:

20 personas prefieren el género romántico.
12 personas prefieren el género dramático.
8 personas prefieren el género de acción.
2 personas prefieren el género de acción y el romántico.
4 personas prefieren el género dramático y el de acción.
4 personas prefieren el género dramático y el romántico.
9 personas no prefieren género alguno de los especificados.

La cantidad de personas a quienes solamente les gusta el género dramático es:

a) 8
b) 6
c) 5
d) 4
e) 1

Definimos lo siguiente:

R: Las personas que prefieren el género romántico.
D: Las personas que prefieren el género dramático.
A: Las personas que prefieren el género de acción.

Entonces tenemos:
\[Re = 40\] \[N(R) = 20 \] \[N(D) = 12 \] \[N(A) = 8\] \[ N(A \cap R) = 2 \] \[N(D \cap A) = 4 \] \[N(D \cap R) = 4 \] \[N[(R \cup D \cup A)^c] = 9 \]

Dada la fórmula general:
\[ N(R \cup D \cup A) = N(R) + N(D) + N(A) - N(R \cap D) - N(R \cap A) - N(D \cap A) + N(R \cap D \cap A) \]

Dado que \[N[(R \cup D \cup A)^c] = 9\] entonces:

\[ N(R \cup D \cup A) = Re - N[(R \cup D \cup A)^c] = 40 - 9 = 31 \]

Por tanto:

\[ 31 = 20 + 12 + 8 - 4 - 2 - 4 + N(R \cap D \cap A) \]

Despejando y realizando las operaciones respectivas, tenemos que:

\[ N(R \cap D \cap A) = 1 \] Hay una persona que prefiere los tres géneros.

Con el valor encontrado podemos realizar un Diagrama de Venn y rellenar con los datos pertinentes.

Por tanto, hay 5 personas que sólo les gusta el género dramático.

Ejercicio 4. Razonamiento lógico

Dadas las hipótesis H₁, H₂ y H₃ de un razonamiento:

H₁: Todas las personas exitosas trabajan muchas horas.

H₂: Todas las personas exitosas son cuidadosas.

H₃: Tulio es una persona exitosa.

Determine con cual de las siguientes conclusiones el razonamiento es VALIDO.

a) Tulio no trabaja muchas horas.

b) Tulio no es cuidadoso.

c) Todas las personas cuidadosas trabajan muchas horas.

d) Todas las personas que trabajan muchas horas son cuidadosas.

e) Algunas personas que trabajan muchas horas son cuidadosas.

Definimos las proposiciones:
p: Tulio es una persona exitosa.
q: Tulio trabaja muchas horas.
r: Tulio es cuidadoso.
Las hipótesis quedan:
H₁: Todas las personas exitosas trabajan muchas horas.
$$ p\Rightarrow q $$ H₂: Todas las personas exitosas son cuidadosas.
$$ p\Rightarrow r $$ H₃: Tulio es una persona exitosa.
$$ p $$ Por tanto, el razonamiento completo se representa como: \[{[(p\Rightarrow q)\land(p\Rightarrow r)]\land p\}\Rightarrow C} \] donde $C$ es cada una de las conclusiones.
Probemos la opción e)
e) Algunas personas que trabajan muchas horas son cuidadosas. Como sabemos que Tulio es exitoso: $$ p=1 $$ Entonces, por H₁: $$ p\Rightarrow q $$ $$ 1\Rightarrow q $$ Para que H₁ sea verdadera: $$ q=1 $$ Es decir: Tulio trabaja muchas horas.
Ahora H₂: $$ p\Rightarrow r $$ $$ 1\Rightarrow r $$ Por tanto: $$ r=1 $$ Es decir: Tulio es cuidadoso. Tenemos entonces: $$ q=1,\qquad r=1 $$ Por lo tanto: $$ q\land r=1 $$ Y esto demuestra que existe al menos una persona que trabaja muchas horas y es cuidadosa, concretamente Tulio.
Aplicando el esquema completo tendríamos:
\[{[(p\Rightarrow q)\land(p\Rightarrow r)]\land p\} \Rightarrow(q\land r) } \] Evaluamos:
\[{[(1⇒1)∧(1⇒1)]∧1}⇒(1∧1) \] $$ \{[1\land1]\land1\}\Rightarrow1 $$ $$ 1\Rightarrow1 $$ \[1\]
Por tanto, es válido.

Ejercicio 5. Composición de funciones

Sean las funciones:

\[ f\colon A \to B \quad f = \{(\lambda, k), (\psi, m), (\delta, p), (\beta, q)\} \] \[ g\colon B \to A \quad g = \{(k, \beta), (m, \delta), (p, \psi), (q, \lambda)\} \]

Es VERDAD que:

$a) g \circ f = \{(\lambda, k), (\beta, \psi), (\psi, \lambda), (\delta, \delta)\}$
$b) f \circ g = \{(k, q), (m, p), (p, m), (q, k)\}$
$c) g \circ f = \{(\lambda, \lambda), (\beta, \beta), (\psi, \psi), (\delta, \delta)\}$
$d) f \circ g = \{(\lambda, \beta), (\psi, \delta), (\delta, \psi), (\beta, \lambda)\}$
$e) f \circ g = \{(k, k), (m, m), (p, p), (q, q)\}$

Desarrollando las relaciones correspondientes y sea $f \circ g\colon B \to A \to B$, entonces tenemos:

g(k) = \beta \to f(\beta) = q$, por tanto se forma el par ordenado $(k, q)
g(m) = \delta \to f(\delta) = p, por tanto se forma el par ordenado (m, p)
g(p) = \psi \to f(\psi) = m, por tanto se forma el par ordenado (p, m)
g(q) = \lambda \to f(\lambda) = k, por tanto se forma el par ordenado (q, k)

Por tanto:

\[ f \circ g = \{(k, q), (m, p), (p, m), (q, k)\} \]

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